概率的起源——都是色子惹的“祸”

三四百年前在欧洲许多国家，贵族之间盛行赌博之风。掷色子（又名骰子）是他们常用的一种赌博方式。大家知道，色子形状为小正方体，当它被掷到桌面上时，每个面向上的可能性是相等的，即出现点数1至点数6中任何一个点数的可能性是相等的。

利用色子赌博的方式可谓五花八门。很自然，赌徒们最关心的就是：如何在赌博中不输！

当时赌徒提出的一个我们现在看来很简单的问题就是：如果同时掷两颗骰子，则点数之和为9与点数之和为10，押在哪个点数上赢的机会较大？

17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族公子哥儿——德·梅尔，发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却很少。

这是什么原因呢？后人称此为著名的德·梅尔问题。

诸如此类的需要计算可能性大小的赌博问题提出了不少，但赌徒他们自己无法给出答案。

数学家们“参与”赌博

意大利医生兼数学家卡尔当诺（Cardano）参与了大量的赌博游戏。他在赌博时研究不输的方法，实际是概率论的萌芽。

卡尔当诺解决了如下问题：把两枚骰子掷出去，以每个骰子朝上的点数之和作为赌的内容。赌注下在多少点上最有利？

	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

现在看来这个想法是很简单的，可是在卡尔当诺的时代，应该说是很杰出的思想方法。从表中我们还不难看出：点数9出现的可能性（4/36）要比点数10出现的可能性（3/36）大一些，所以押在点数9赢的机会大于押在点数10。由此，卡尔当诺预言说押7最好。两枚骰子朝上的面共有36种可能，点数之和分别可为2～12共11种。从表中可知，7是最容易出现的和数，它出现的可能性是1/6。

1663年卡尔当诺撰写的《游戏机遇的学说》，在这本书中卡尔当诺讨论了关于两人赌博中断后如何分赌本的问题，且也提出了“大数定律”等基本的概率理论之原始的模型。在那个时代，虽然概率论的萌芽有些进展，但还没有出现真正的概率论。

公元1651年夏天，当时盛誉欧洲号称“神童”的数学家帕斯卡（Pascal），在旅途中偶然遇到了赌徒德·美尔（De Mere），他对帕斯卡大谈“赌经”，以消磨旅途时光。德·美尔还向巴斯卡请教一个亲身所遇的“分赌金”问题。

问题是这样的：一次德·美尔和赌友掷骰子，各押赌注32个金币，德·美尔若先掷出三次“6点”，或赌友先掷出三次“4点”，就算赢了对方。赌博进行了一段时间，德·美尔已掷出了两次“6点”，赌友也掷出了一次“4点”。这时，德·美尔奉命要立即去晋见国王，赌博只好中断。那么两人应该怎么分这64个金币的赌金呢？

赌友说，德·美尔要再掷一次“6点”才算赢，而他自己若能掷出两次“4点”也就赢了。这样，自己所得应该是德·美尔的一半，即得64个金币的三分之一，而德·美尔得三分之二。德·美尔争辩说，即使下一次赌友掷出了“4点”，两人也是秋色平分，各自收回32个金币，何况那一次自己还有一半的可能得16个金币呢？所以他主张自己应得全部赌金的四分之三，赌友只能得四分之一。

公说公有理，婆说婆有理。德·美尔的问题居然把帕斯卡给难住了。他为此苦苦想了三年，终于在1654年悟出了一点儿道理。于是他把自己的想法写信告诉他的好友，当时号称数坛“怪杰”的费马（Fermat），两人对此展开热烈的讨论。他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后来被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他独立地进行研究。帕斯卡和费尔马一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，终于完整地解决了“分赌金问题”，并将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。而惠更斯经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中的一些数学问题。1657年，他将自己的研究成果写成了专著《论掷骰子游戏中的计算》。这本书迄今为止被认为是概率论中最早的论著。因此可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯。这一时期被称为组合概率时期，主要是计算各种古典概率。

在他们之后，对概率论这一学科做出贡献的是瑞士数学家族——贝努利家族的几位成员。雅可布·贝努利在前人研究的基础上，继续分析赌博中的其他问题，给出了“赌徒输光问题”的详尽解法，并证明了被称为“大数定律”的一个定理，这是研究等可能性事件的古典概率论中的极其重要的结果。大数定律证明的发现过程是极其困难的，他做了大量的实验计算，首先猜想到这一事实，然后为了完善这一猜想的证明，雅可布花了20年的时光。雅可布将他的全部心血倾注到这一数学研究之中，从中他发展了不少新方法，取得了许多新成果，终于将此定理证实。

1713年出版了雅各布·伯努利的遗作《猜度术》，建立了概率论中的第一个极限定理，即现称之为伯努利大数定理。这一大数定理指出，概率是相对频率的数学抽象，伯努利的这一定理在概率的发展史上起到了理论奠基的作用。遗憾的是在他的大作问世之时，雅可布已谢世8年之久。

雅可布的侄子尼古拉·贝努利也真正地参与了“赌博”。他提出并解决了赌博游戏中遇到的很多问题。

走出赌博

随着18、19世纪科学的发展，人们注意到某些生物、物理和社会现象与机会游戏相似，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中，同时也大大推动了概率论本身的发展。

法国数学家拉普拉斯将古典概率论向近代概率论进行推进，他首先明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的数学分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。他还证明了“棣莫弗——拉普拉斯定理”，把棣莫弗的结论推广到一般场合，还建立了观测误差理论和最小二乘法。1812年，拉普拉斯的名著《概率的分析理论》出版，书中系统地总结了前人关于概率的研究成果，明确了概率的古典定义，在概率论中引入分析方法，把概率论提高到一个新的阶段，把此前各数学家关于概率的零星结果系统化。1814年第二版的书名换成《概率的哲学导论》，在该书中关于概率的定义，拉普拉斯给出了非常精辟的论述，还给出了概率的加法与乘法等运算定律。。这时候人们最想知道的就是概率论是否会有更大的应用价值？是否能有更大的发展？

法国数学家蒲丰（Buffon Georges Louis Leclerc，1707—1788）提出几何概率的概念，其典型模型是：长的同质均匀针随机地投向画有最近两平行线相距为的许多平行线的平面，求针与直线相交的概率。这里“随机”是指针的中心的落点与针的方向都是等概率的，而且中心落点与针的方向无关。其解得的结果为：所求的针与直线相交的概率p=2l/(πa)p=2l/(πa)。这是数学史上古典概率中几何概率的一个精彩实例。只要求得p，则可求出π的值。1901年意大利的拉泽里尼（Lazzerrini）投针3408次，他统计出与平行线相交的次数，于是求得π的近似值，他求出的π精确到6位小数。

1733年棣莫弗，1809年高斯分别独立地引入正态分布。1837年，法国数学家泊松（Poisson Simeon—Denis，1781—1840）给出泊松大数定律，泊松是巴黎综合工程学校教授，1837年发表的著名论文《关于判断的概率之研究》中还提出了泊松分布，他的主要工作是数学物理。

十九世纪后期，概率论的主要成就就是中心极限定理，主要人物是俄国的切比雪夫，他于1866年建立的独立随机变量的大数定律，使伯努利和泊松的大数定律成为其特例，他还把棣莫弗与拉普拉斯的的极限定理推广成一般的中心极限定理。

1899年，法国科学家贝特朗（J.Bertrand）提出了针对古典概率中的含糊与矛盾的所谓“贝特朗悖论”：在半径为r的圆0内随机地选择弦，求弦长超过圆内接正三角形的边长之概率。在求解的过程中由于“任意随择”的不同理解，造成“一题多解”，出现了不唯一的答案！拉普拉斯在《概率的分析理论》与《概率的哲学导论》中关于古典概率的含糊概念陷入严重危机之中。为了克服古典概率的缺点，人们开始从创建概率的公理系统入手来改造古典概率，例如，俄国数学家伯恩斯坦（1880—1968），奥地利数学家冯·米西斯(1883—1953)等提出了一些公理作为概率论的源头命题，但都不够完善。1905年法国数学家波莱尔(1871—1956)用他创立的测度论语言来表达概率论，为克服古典概率的弱点打开了大门。波莱尔是法国数学家班勒卫的学生，他把康托尔的集合论与古典分析相结合，对实变函数论有重要的贡献。

成为严谨的学科

概率论在20世纪再度迅速地发展起来，则是由于科学技术发展的迫切需要而产生的。1906年，俄国数学家马尔科夫提出了所谓“马尔科夫链”的数学模型。1934年，前苏联数学家辛钦又提出一种在时间中均匀进行着的平稳过程理论。

如何把概率论建立在严格的逻辑基础上，这是从概率诞生时起人们就关注的问题，这些年来，好多数学家进行过尝试，终因条件不成熟，一直拖了三百年才得以解决。

20世纪初完成的勒贝格测度与积分理论及随后发展的抽象测度和积分理论，为概率公理体系的建立奠定了基础。前苏联的大数学家柯尔莫哥洛夫开始从测度论的途径来改造概率论。1933年他以德文出版了经典名著《概率论基础》，他作为莫斯科函数论学派领袖鲁金(1883—1950)的学生，有雄厚的数学实力运用测度来研究概率，他在这本名著中建立了柯尔莫哥洛夫公理化概率论。他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支。1934年柯尔莫哥洛夫的学生辛钦(1894—1959)提出 “平稳过程”理论，所谓“平稳过程”理论是指随机现象中其统计性质不随时间变化的随机过程。1942年，日本数学家伊藤清引进了随机积分与随机微分方程，为随机分析的建立奠定了基础。特别值得一提的是柯尔莫哥洛夫是二十世纪最伟大的数学家之一，也是二十世纪最有影响的少数几个数学家之一。

现在，概率论与以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学，社会科学，工程技术，军事科学及工农业生产等诸多领域中都起着不可或缺的作用。