《复变函数与积分变换》课程教学大纲
一、课程名称（中英文）
中文名称：复变函数与积分变换
英文名称：Functions of Complex Variable and Integral Transforms
二、课程代码及性质
课程代码：0700071
课程性质：必修
三、学时与学分
总学时：40（理论学时：40学时；实践学时：无限制）
学分：2.5
四、先修课程
先修课程：微积分
五、授课对象
本课程面向理工科各专业本科学生开设
六、课程教学目的（对学生知识、能力、素质培养的贡献和作用）
复变函数与积分变换是理工科相关专业的一门基础课，通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数的基础理论和方法，掌握傅里叶变换与拉斯变换的性质、方法；学生在学习该课程知识及数学物理及工程技术中常用的数学方法时还可以巩固和复习微积分的基础知识，提高数学素养，为学习有关后续课程和进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础。同时，该课程在培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和科学计算能力等方面也起着十分重要的作用。
七、教学重点与难点：
课程重点：解析函数、Cauchy-Riemann 条件及其应用；Cauchy 积分公式的应用；各种复积分的计算；将函数展开成幂级数或罗朗级数的方法；孤立奇点的分类；留数的计算；求两个典型区域间的分式线性映射；Fourier 变换和Laplace 变换的有关概念、性质及其应用；单位脉冲函数的性质及其应用。
课程难点：无穷远点及无穷远点邻域、扩充复平面、复数开方和多值函数、函数解析的充要条件、 计算非解析函数沿积分路径为非闭曲线的积分、孤立奇点类别的识别、共形映射、Fourier变换与Laplace变换的区别、联系。
八、教学方法与手段：
教学方法：教师课堂授课+学生课后练习与讨论
教学手段：多媒体+板书
九、教学内容与学时安排
（一）教学内容1（教师课堂教学学时（4小时） + 学生课后学习学时（12小时））
教学内容：复数与复变函数（4学时）
复数
复数的三角表示
平面点集的一般概念
无穷大与复球面
复变函数
课后文献阅读：见十、教学参考书及文献
课后作业和讨论：自编练习册练习一、练习二
（二）教学内容2（教师课堂教学学时（5小时） + 学生课后学习学时（15小时））
教学内容：解析函数（5学时）
解析函数的概念
解析函数和调和函数的关系
初等函数
课后文献阅读：见十、教学参考书及文献
课后作业和讨论：自编练习册练习三、练习四
（三）教学内容3（教师课堂教学学时（5小时） + 学生课后学习学时（15小时））
教学内容：复变函数的积分（5学时）
复积分的概念
柯西积分定理
柯西积分公式
解析函数的高阶导数
课后文献阅读：见十、教学参考书及文献
课后作业和讨论：自编练习册练习五、练习六
（四）教学内容4（教师课堂教学学时（4小时） + 学生课后学习学时（12小时））
教学内容：解析函数的级数表示（4学时）
复数项级数
复变函数项级数
泰勒级数
洛朗级数
课后文献阅读：见十、教学参考书及文献
课后作业和讨论：自编练习册练习七、练习八
（五）教学内容5（教师课堂教学学时（6小时） + 学生课后学习学时（18小时））
教学内容：留数及其应用（6学时）
孤立奇点
留数
留数在定积分计算中应用
课后文献阅读：见十、教学参考书及文献
课后作业和讨论：自编练习册练习九、练习十、练习十一
（六）教学内容6（教师课堂教学学时（6小时） + 学生课后学习学时（18小时））
教学内容：共形映射（6学时）
共形映射的概念
共形映射的基本问题
分式线性映射
几个初等函数构成的保形映射
课后文献阅读：见十、教学参考书及文献
课后作业和讨论：自编练习册练习十二、练习十三、练习十四
（七）教学内容7（教师课堂教学学时（4小时） + 学生课后学习学时（12小时））
教学内容：傅里叶变换（4学时）
傅里叶变换的概念
单位脉冲函数（δ函数）
傅里叶变换的性质
课后文献阅读：见十、教学参考书及文献
课后作业和讨论：自编练习册练习十五、练习十六、练习十七
（八）教学内容8（教师课堂教学学时（4小时） + 学生课后学习学时（12小时））
教学内容：拉普拉斯变换（4学时）
拉普拉斯变换的概念
拉氏变换的性质
拉普拉斯逆变换
拉氏变换的应用及综合举例
课后文献阅读：见十、教学参考书及文献
课后作业和讨论：自编练习册练习十八、练习十九
十、教学参考书及文献
教学参考书：
1．复变函数与积分变换，北京：高等教育出版社，2013，李红、谢松法编；
2．复变函数与积分变换学习辅导与习题全解，北京：高等教育出版，2013，李红、谢松法编；
3．工程数学:积分变换(第四版), 北京:高等教育出版，2003，张元林
4．复变函数与积分变换，北京：科学出版社, 2011，刘子瑞, 徐忠昌主编；
5．复变函数与积分变换，北京：科学出版社, 2015，冯复科主编
6．复变函数论，北京：高等敎育出版社, 2004，钟玉泉编；
7. Complex analysis for mathematics and engineering, Jones & Bartlett Pub, 2006, John H. Mathews and Russell W. Howell.
8. Complex variables: introduction and applications, Cambridge UniversityPress, 2003, MarkJ. Ablowitz, Athanassios S. Fokas.
课外文献阅读：
1. Onanewclass ofanalyticfunction derivedbyafractionaldifferential operator, Acta MathematicaScientia, 34(2014):1417-1426,Rabha W. Ibrahim.
2. Real analytic families of harmonic functions in a planar domainwith a small hole,Journal of Mathematical Analysis and Applications,422 (2015): 37-55, M.Dalla Riva, P. Musolino.
3. Geometrical and physical characteristics of a class ofconformalmappings,Journal of Geometry and Physics, 62 (2012):1467-1479, Fengyun Fu, Xiaoping Yang, Peibiao Zhao.
4. Analysis and extension of spectral methodsfor nonlineardimensionality reduction,Proceedings of the 22nd international conference on Machine learning, (2005):784-791, Fei Sha,Lawrence K. Saul.
5. Conformal mapping by computationally efficient methods,Proceedings of the Twenty-Fourth AAAI Conference on Artificial Intelligence, (2010):557-562, Stefan Pintilie, Ali Ghodsi.
6. An analytical representation of conformal mapping for genus-zeroimplicit surfaces and its application to surface shape similarityassessment,Computer-Aided Design, 64 (2015): 9-21, Shunzhou Huang, Hao Wang, Yong Zhao, Zhongqin Lin.
7. Analytic methods for geometric modeling via sphericaldecomposition. Computer-Aided Design, 70(2016):100-115, Morad Behandish, Horea T. Ilieş.
8. Fourier integral operators and the index ofsymplectic morphisms on manifolds with boundary,Journal ofFunctional Analysis, 269(2015): 3528-3574, Ubertino Battisti, Sandro Coriasco, Elmar Schrohe.
9. A novel signal decomposition approach-adaptive fourier decomposition,Advances in Adaptive Data Analysis,3(2012): 325-338, Liming Zhang, Hong Li.
十一、课程成绩评定与记载
课程成绩=课堂讨论（10%）+课后作业（20%）+终结性考试（70%）
终结性考试形式：闭卷
大纲制定：复变函数与积分变换课程组
审核：数学与统计学院教学指导委员会
