发布时间:2019-10-28
我实验室成员青年教师高华东博士的论文“Stability and convergence of fully discrete Galerkin FEMs for the nonlinear thermistor equations in a nonconvex polygon. Numerische Mathematik, 136 (2017), 383-409.”获得2019年度中国仿真学会优秀论文奖。高华东是论文的第一作者。
热敏电阻在电子器件中有大量的应用。热敏电阻方程(thermistor equation)是描述热敏电阻器件的非线性偏微分方程组,研究该类方程的数值计算和仿真模拟对热敏电阻的建模和分析极为重要。由于热敏电阻方程具有强非线性耦合,设计和分析高效的有限元方法是求解该方程的核心问题。对于该方程的数值方法,目前已有的研究结果主要集中在光滑区域和凸区域的问题。在实际应用中热敏电阻几何形状十分复杂。本论文首次对非凸多边形上的热敏电阻方程进行有限元分析,并给出了严格的收敛性和稳定性证明。首先,对非凸多边形上的热敏电阻方程提出一种线性化的有限元方法,给出了主要的误差收敛阶和稳定性结果;然后,通过引入一个离散的椭圆系统,把误差分裂成两部分:时间误差和空间误差。对于时间误差,证明了计算格式在时间方向上一阶收敛,并且得到了离散的椭圆系统在强范数下的一致有界性。对于空间误差,我们证明了最优的2s阶误差,这里s(>0.5)是一个依赖区域最大凹角的一个参数。通过这种时空分裂技巧,本论文成功对非凸多边形区域上的热敏电阻方程的有限元方法得到了无条件的最优误差分析。最后,本文首次在非凸区域上进行的数值计算。数值结果验证了理论分析的正确性,并且数值算例证实了自适应网格可以极大改善收敛速度。本文为进一步探索复杂形状的热敏电阻的数学建模相关问题的理论和数值分析奠定了研究基础、提供了有力工具。
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